FOM1.5: Dôsledky Gödelovych viet o neúplnosti

Godel: Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine.
Cantor: I see it, but I don’t believe it.
Gordan: This (axiomatic math) is no longer mathematics, it is theology.

Godelove vety vyvolali mnozstvo otazok. Co v praxi znamena ze tvrdenie ktore sa snazime dokazat je nezavisle? Existuju vobec nejake “zaujimave” nezavisle tvrdenia? Ako dokazat ze tvrdenie je nezavisle? Nie je nahodou cela nasa “matematika” sporna?

To su dolezite a vo vseobecnosti tazke otazky. V tomto clanku ich trocha rozvedieme. Ukazeme tiez ako z neuplnosti plynie existencia tzv. nestandardnych modelov aritmetiky, neriesitelne diofanticke rovnice(v PA), prevedieme formalne systemy na turing machine a tym rozsirime dosledky neuplnosti do computer science.

Zmienime nakoniec aj fantasticku filozoficku aplikaciu Godelovych viet o moznosti popisania cloveka formalnym systemom.

Fenomen neuplnosti sa tak stane inspiraciou pre mnoho novych smerov poznania.

[update 5.11.2008]

FOM1.4: 2.Gödelova veta o neúplnosti

D.Hilbert: We must know, we will know.
B.Russell: Extreme hopes are born from extreme misery.

Nahliadneme ze dostatocne silne rekurzivne axiomatizovatelne konzistentne teorie nemozu dokazat svoju konzistentnost.

Predtym zavedieme Peanovu aritmetiku a objasnime co znamena dokazat bezospornost teorie T vnutri teorie T.